WWW.PROGRAMMA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Учебные и рабочие программы
 

«Учебно – методический комплекс по дисциплине Дополнительные главы алгебры и теории чисел Для студентов 2 курса Специальность 090102.65 Компьютерная безопасность Форма обучения очная ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Тверской государственный университет»

Математический факультет

Кафедра алгебры и математической логики

УТВЕРЖДАЮ

Декан математического факультета

_______________________________

«____»____________2010 г.

Учебно – методический комплекс по дисциплине Дополнительные главы алгебры и теории чисел Для студентов 2 курса Специальность 090102.65 Компьютерная безопасность Форма обучения очная

Обсуждено на заседании кафедры Составители:

«__»_____________ 2010 г. Некрасов К.Г. к.ф.-м.н., доцент Протокол № _________________

Зав. кафедрой__________А.В. Чагров Тверь 2010 II. Пояснительная записка

1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины являются освоение основ фундаментальных знаний, позволяющих разобраться в математической основе, обеспечивающей возможность деятельности специалиста в той части, которая связана с алгеброй, решать стандартные задачи, давать интерпретацию полученным результатам.

2. Место дисциплины.

Дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу.

Предварительные знания, необходимые для освоения дисциплины, — это знания, полученные при изучении школьной программы по алгебре и началам анализа, а также по геометрии.

Освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее для следующих дисциплин: дифференциальные и разностные уравнения, численные методы, функциональный анализ, программирование, теория кодирования, криптография.

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 55 часов.

4. Требования к уровню освоения дисциплины.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

• Знать: понятия, изучаемые в рамках дисциплины, используемые обозначения, формулировки теорем, методы и подходы для решения задач.

• Уметь: формулировать понятия, используемые в рамках дисциплины, пользоваться знаниями для решения задач, доказывать основные и вспомогательные теоремы.

• Владеть: навыками применения методов решения задач.

5. Образовательные технологии Интерактивное взаимодействие студентов с одной стороны и преподавателя с другой во время лекций, а также студентов между собой и с преподавателем во время практических занятий. Лекционные занятия включают элементы мастер-класса специалиста, имеющего в данной области учёную степень и являющегося экспертом в ней.

6. Формы контроля: зачет, экзамен; в течение семестра – зачетные модульные работы, проверка домашних задач.

III. Учебная программа Глава 1. Основы теории групп.

Полугруппы. Свойства степеней. Понятие группы. Простейшие свойства.

Критерий группы.

Подгруппы. Подгруппа четных подстановок.

Изоморфизм групп. Примеры. Теорема Кэли.

Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа о делимости порядка группы на порядок подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы циклических групп. Строение групп простого порядка.

Нормальные подгруппы. Примеры нормальных подгрупп. Контрпримеры.

Нормальность подгрупп индекса 2. Понятие факторгруппы и его корректность.

Примеры построения факторгрупп.

Понятие гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме групп.

Восстановление подгруппы в прообразе из подгруппы в образе.

Отношение сопряженности в группе. Свойства сопряженных элементов группы.

Централизатор элемента. Теорема об индексе централизатора элемента конечной группы. Центр группы. Нетривиальность центра p-группы.

Существование в коммутативной группе порядка делящегося на простое p элемента порядка p. Формулировка теоремы Силова. Доказательство теоремы Силова в части «существование».

Прямые произведения групп. Критерий разложения группы в прямое произведение своих подгрупп. Теорема о строении конечных коммутативных групп.

Глава 2. Основы теории колец.

Расширения полей.

1. Понятие кольца. Подкольца. Кольцо классов вычетов по данному модулю.

Понятие идеала. Сумма и пересечение идеалов. Примеры. Кольцо классов вычетов по данному модулю. Главные идеалы. Кольцо целых чисел как кольцо главных идеалов. Кольцо многочленов над полем как кольцо главных идеалов. Пример кольца, которое не является кольцом главных идеалов.

Факторкольцо. Кольцо классов вычетов как пример факторкольца. Поле классов вычетов по простому модулю. Теорема существования корня. Поле разложения многочлена. Поле комплексных чисел как факторкольцо.

Понятие поля. Пример поля, которое содержит иррациональные числа, содержится в поле действительных чисел, но не совпадает с ним.

Построение поля частных.

Глава 3. Конечные поля.

Характеристика поля. Простые конечные поля. Число элементов в конечном поле.

Изоморфизм минимальных полей, в которых данный неприводимый многочлен имеет корень. Наименьшая степень расширения поля, в котором неприводимый многочлен имеет корень.

Существование конечного поля каждого порядка, являющегося степенью простого числа. Изоморфизм полей данного порядка. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Подполя конечного поля.

Существование многочлена произвольной степени над конечным полем, который неприводим над этим полем. Конечное поле как множество корней некоторого многочлена.

Некоторые критерии неприводимости данного многочлена над конечным полем и их применение.

Глава 4. Теория чисел.

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Алгоритм Евклида. Разложение НОД.

Критерий взаимной простоты. Простые числа. Существование и единственность разложения на простые множители.

Классы вычетов по данному модулю. Решение сравнений первой степени.

Решение сравнений второй степени. Квадратичные вычеты. Закон взаимности квадратичных вычетов.

Функция Эйлера, её вычисление и применение.

Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса.

Первообразные корни и индексы. Дискретный логарифм.

–  –  –

V. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации, по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Вопросы к зачету:

1. Полугруппы. Свойства степеней. Понятие группы. Простейшие свойства.

Критерий группы.

2. Подгруппы. Подгруппа четных подстановок.

3. Изоморфизм групп. Примеры. Теорема Кэли.

4. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа о делимости порядка группы на порядок подгруппы.

5. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы циклических групп.

Строение групп простого порядка.

6. Нормальные подгруппы. Примеры нормальных подгрупп. Контрпримеры.

Нормальность подгрупп индекса 2.

7. Понятие факторгруппы и его корректность. Примеры построения факторгрупп.

8. Понятие гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме групп.

9. Восстановление подгруппы в прообразе из подгруппы в образе.

10. Отношение сопряженности в группе. Свойства сопряженных элементов группы.

11. Централизатор элемента. Теорема об индексе централизатора элемента конечной группы.

12. Центр группы. Нетривиальность центра p-группы.

13. Существование в коммутативной группе порядка делящегося на простое p элемента порядка p.

14. Формулировка теоремы Силова. Доказательство теоремы Силова в части «существование».

15. Прямые произведения групп. Критерий разложения группы в прямое произведение своих подгрупп.

16. Теорема о строении конечных коммутативных групп.

17. Понятие кольца. Подкольца. Понятие идеала. Сумма и пересечение идеалов.

Примеры.

18. Сравнимость по данному модулю. Кольцо классов вычетов по данному модулю.

19. Главные идеалы. Кольцо целых чисел как кольцо главных идеалов. Кольцо многочленов над полем как кольцо главных идеалов. Пример кольца, которое не является кольцом главных идеалов.

20. Факторкольцо. Кольцо классов вычетов как пример факторкольца. Поле классов вычетов по простому модулю.

21. Поле комплексных чисел как факторкольцо.

22. Построение поля частных.

23. Теорема существования корня. Поле разложения многочлена.

24. Понятие поля. Пример поля, которое содержит иррациональные числа, содержится в поле действительных чисел, но не совпадает с ним.

25. Понятие простого поля. Поле рациональных чисел как наименьшее поле, содержащее кольцо целых чисел.

26. Характеристика поля. Простые конечные поля. Число элементов в конечном поле.

27. Изоморфизм минимальных полей, в которых данный неприводимый многочлен имеет корень. Наименьшая степень расширения поля, в котором неприводимый многочлен имеет корень.

28. Существование конечного поля каждого порядка, являющегося степенью простого числа.

29. Цикличность мультипликативной группы конечного поля.

30. Подполя конечного поля.

31. Существование многочлена произвольной степени над конечным полем, который неприводим над этим полем. Конечное поле как множество корней некоторого многочлена.

32. Критерий Батлера неприводимости данного многочлена над конечным полем и его применение.

33. Делимость целых чисел. Деление с остатком. Алгоритм Евклида.

Разложение НОД. Критерий взаимной простоты. Простые числа и их бесконечность. Существование и единственность разложения на простые множители.

34. Решение сравнений первой степени. Использование алгоритма Евклида.

35. Решение сравнений второй степени. Квадратичные вычеты. Закон взаимности квадратичных вычетов.

36. Функция Эйлера, её вычисление и применение.

37. Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса.

38. Первообразные корни и индексы. Дискретный логарифм.

Методические указания по подготовке к лабораторным занятиям Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов

Компонентами самостоятельной работы являются:

1. Самостоятельная работа с литературой.

2. Выполнение индивидуальных творческих заданий.

3. Подготовка к зачету.

Списки литературы выдаются студентам на первой лекции курса. Для поддержки курса создаются методические разработки по отдельным частям курса. В настоящее время имеются следующие методические разработки:

1. Группы. Задачи: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2005, 16 с.

2. Кольца и поля (задачи): Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.:

Некрасов К.Г., Тверь, 2011, 16 с.

По ряду разделов вышеприведенные разработки содержат краткие конспекты рассматриваемого в них материала, а в большинстве из них - также и задачи.

Для организации подготовки к лабораторным и практическим занятиям преподаватель выделяет понятия и утверждения, которые необходимы для решения задач по рассматриваемой теме.

Для организации подготовки к контрольным (модульным) работам преподаватель указывает типы задач, которые предполагаются на этой работе.

Перечень основных понятий курса алгебры

1. Соответствие (отношение).

2. Отображение (функция).

3. Сюрьекция.

4. Инъекция.

5. Биекция

6. Бинарная операция (алгебраическая операция).

7. Решение системы уравнений.

8. Элементарное преобразование системы уравнений.

9. Перестановка.

10. Подстановка.

11. Определитель квадратной матрицы.

12. Минор матрицы, алгебраическое дополнение.

13. Арифметическое пространство.

14. Линейная зависимость (независимость) систем векторов.

15. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.

16. Базис системы векторов.

17. Координаты вектора в базисе.

18. Группоид.

19. Полугруппа.

20. Группа.

21. Кольцо.

22. Поле.

23. Поле комплексных чисел.

24. Сумма и произведение матриц. Кольцо квадратных матриц.

25. Элементарная матрица.

26. Кольцо многочленов.

27. Наибольший общий делитель.

28. Многочлен, приводимый (неприводимый) над данным полем.

29. Линейное пространство, подпространство.

30. Линейная оболочка.

31. Сумма подпространств.

32. Пересечение подпространств.

33. Изоморфизм, гомоморфизм линейных пространств.

34. Линейное отображение (преобразование).

35. Ядро линейного отображения.

36. Образ линейного отображения.

37. Алгебра.

38. Алгебра эндоморфизмов.

39. Подобные матрицы.

40. Характеристический многочлен линейного преобразования.

41. Собственное значение (число) линейного преобразования.

42. Собственное подпространство, собственный вектор.

43. Корневое подпространство, корневой вектор.

44. Жорданова матрица.

45. Подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования.

46. Евклидово пространство.

47. Матрица Грамма.

48. Ортогональное дополнение.

49. Ортогональная проекция, ортогональная составляющая вектора.

50. Симметрическое линейное преобразование.

51. Ортогональное линейное преобразование.

52. Квадратичная форма.

53. Кольцо многочленов от нескольких букв.

54. Симметрический многочлен.

55. Порядок элемента группы.

56. Порядок группы.

57. Смежный класс.

58. Симметрическая группа.

59. Знакопеременная группа.

60. Циклическая группа.

61. Факторгруппа.

62. Нормальная подгруппа.

63. Центр группы.

64. Централизатор элемента группы.

65. Силовская p- подгруппа.

66. Сопряженные элементы группы, классы сопряженности.

67. Идеал кольца.

68. Главный идеал кольца.

69. Кольца главных идеалов.

70. Сумма идеалов.

71. Факторкольцо.

72. Характеристика поля.

73. Линейная рекуррентная последовательность.

VI. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

а) основная литература:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975

2. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра: Учебник. В 2-х т.-М.: Гелиос АРВ, 2003

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, учебник, 1977

4. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984

5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977

6. Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1995.

7. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре

б) дополнительная литература:

1. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970

2. Калужнин А.Г. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973

3. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983

4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979

5. Определители: Метод. указ. по курсу / Тверской гос. ун-т; Сост. Некрасов К.Г.

Тверь, 2009. 20 с.

6. Системы линейных уравнений: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т.

Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2011, 16 с.

7. Арифметические пространства. Ранг матрицы: Метод. указ. по курсу / Тверской гос. ун-т; Сост. Некрасов К.Г. Тверь, 2009. 20 с.

8. Операции с матрицами и теорема Гамильтона-Кэли: Метод. указ. по курсу / Тверской гос. ун-т; Сост. Некрасов К.Г. Тверь, 2009. 16 с.

9. Линейные пространства: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.:

Некрасов К.Г., Тверь, 2007, 16 с.

10. Линейные преобразования линейных пространств: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2008, 20 с.

11. Евклидовы пространства: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.:

Некрасов К.Г., Тверь, 2010, 20 с.

12. Квадратичные формы над полем действительных чисел: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2008, 16 с.

13. Жорданова форма матриц над полем комплексных чисел: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2011, 20 с.

14. Группы. Задачи: Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.: Некрасов К.Г., Тверь, 2005, 16 с.

15. Кольца и поля (задачи): Метод. указания по курсу / Тверской гос. ун-т. Сост.:

Некрасов К.Г., Тверь, 2011, 16 с.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы Не предусмотрено.

VII. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) Основная и дополнительная литература, аудитории с доской и мелом.




Похожие работы:

«Аннотация программы Безопасность жизнедеятельности дисциплина, в которой соединена тематика безопасного взаимодействия человека со средой обитания (производственной, бытовой, городской, природной) и вопросы защиты от негативных факторов чрезвычайных ситуаций. Изучением дисциплины достигается формирование у бакалавров представления о неразрывном единстве эффективной профессиональной деятельности с требованиями к безопасности и защищенности человека. Реализация этих требований гарантирует...»

«Мониторинг регуляторной среды – 28 июля – 4 августа 2014 года Подготовлен Институтом проблем естественных монополий (ИПЕМ) Исследования в областях железнодорожного транспорта, ТЭК и промышленности Тел.: +7 (495) 690-14-26, www.ipem.ru Президент и Правительство 28.07.2014. Опубликовано распоряжение Правительства об утверждении «дорожной карты» «Совершенствование процедур несостоятельности (банкротства)». Ссылка 28.07.2014. Завершается подготовка постановления Правительства «О внесении изменений...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского» Таврическая академия Факультет биологии и химии Кафедра валеологии и безопасности жизнедеятельности человека “УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе А.М. Тимохин _2015 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.4 Безопасность жизнедеятельности по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика» квалификация выпускника «бакалавр» Симферополь, 2015 Рабочая...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный лингвистический университет» Евразийский лингвистический институт в г. Иркутске (филиал) АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.В.ОД.10 Первая (доврачебная) помощь пострадавшему (индекс и наименование дисциплины по учебному плану) Направление подготовки/специальность 44.03.05 Педагогическое образование (с...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Кафедра «Природная и техносферная безопасность» РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине «Б.1.3.3.1 Основы биотехнологии» направления подготовки 18.03.02 «Энерго-и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии» Профиль «Энерго-и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии» форма...»

«Отчет по результатам самообследования образовательной организации АНО «Автошкола Профессионал 2011» за 2014 год. Самобследование проведено Директором Коростиевым Иваном Александровичем, Заместителем директора Сазоновой Еленой Николаевной (должность, фамилия, инициалы лица (лиц), проводившего (их) самообследование) 1. Оценка образовательной деятельности Образовательная деятельность АНО «Автошкола Профессионал 2011» соответствует требованиям Федерального закона от 10 декабря 1995 г. № 196-ФЗ «О...»

«ВОЛЖСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ОТДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Дисциплина: «Безопасность жизнедеятельности» Автор-составитель: Фатьянова Т.Е., к.б.н., преподаватель отделения СПО для студентов специальности 40.02.01 «Право и организация социального обеспечения», уровень подготовки базовый курс 2 форма...»

«ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от 22.06.2015 Рег. номер: 3395-1 (21.06.2015) Дисциплина: Безопасность жизнедеятельности Учебный план: 080400.62 Управление персоналом/4 года ОДО Вид УМК: Электронное издание Инициатор: Гренц Вера Ивановна Автор: Гренц Вера Ивановна Кафедра: Кафедра медико-биологических дисциплин и безопасности жизнедеяте УМК: Финансово-экономический институт Дата заседания 15.04.2015 УМК: Протокол заседания УМК: Дата Дата Результат Согласующие ФИО Комментарии получения согласования...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского» Таврическая академия Факультет биологии и химии Кафедра валеологии и безопасности жизнедеятельности человека “УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по учебной работе А.М. Тимохин _2015 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.Б.4 Безопасность жизнедеятельности по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика» квалификация выпускника «бакалавр» Симферополь, 2015 Рабочая...»

«ПУБЛИКАЦИИ МАГАТЭ ПО ВОПРОСАМ БЕЗОПАСНОСТИ НОРМЫ БЕЗОПАСНОСТИ МАГАТЭ В соответствии со статьей III своего Устава Агентство уполномочено устанавливать или принимать нормы безопасности для защиты здоровья и сведения к минимуму опасностей для жизни и имущества и обеспечивать применение этих норм. Публикации, посредством которых МАГАТЭ устанавливает нормы, выпускаются в Серии норм МАГАТЭ по безопасности. Эта серия охватывает вопросы ядерной безопасности, радиационной безопасности, безопасности...»







 
2016 www.programma.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Учебные, рабочие программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.