WWW.PROGRAMMA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Учебные и рабочие программы
 

«ISSN 2071-2898 (Print) ISSN 2071-2901 (Online) Попков К.А. О точном значении длины минимального единичного диагностического теста для одного класса схем Рекомендуемая форма ...»

ИПМ им.М.В.Келдыша РАН • Электронная библиотека

Препринты ИПМ • Препринт № 74 за 2015 г.

ISSN 2071-2898 (Print)

ISSN 2071-2901 (Online)

Попков К.А.

О точном значении длины

минимального единичного

диагностического теста для

одного класса схем

Рекомендуемая форма библиографической ссылки: Попков К.А. О точном значении длины

минимального единичного диагностического теста для одного класса схем // Препринты ИПМ

им. М.В.Келдыша. 2015. № 74. 20 с.

URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2015-74 Ордена Ленина

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

имени М.В. Келдыша Российской академии наук К. А. Попков О точном значении длины минимального единичного диагностического теста для одного класса схем Москва — 2015 Попков К. А.

О точном значении длины минимального единичного диагностического теста для одного класса схем Рассматривается задача синтеза неизбыточных схем из функциональных элементов в базисе {&,, ¬}, реализующих булевы функции от переменных и допускающих короткие единичные диагностические тесты относительно однотипных константных неисправностей на выходах элементов. Для каждой булевой функции, допускающей реализацию неизбыточной схемой, найдено минимально возможное значение длины такого теста. В частности, доказано, что оно не превосходит двух.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, неисправность, единичный диагностический тест Kirill Andreevich Popkov On an exact length value of a minimal single diagnostic test for a particular class of circuits We consider a problem of synthesis of irredundant logic circuits in the basis {&,, ¬} which implement Boolean functions on variables and allow short single diagnostic tests regarding uniform constant faults on outputs of gates. For each Boolean function permitting implementation by an irredundant circuit, the minimal possible length value of such a test is found. In particular, it is proved that this value does not exceed two.

Key words: logic circuit, fault, single diagnostic test Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14–01–00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН «Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения» (проект «Задачи оптимального синтеза управляющих систем»).

Оглавление Введение Форму

–  –  –

В данной работе рассматривается задача синтеза легкотестируемых схем, реализующих заданные булевы функции. Логический подход к тестированию электрических схем предложен С. В. Яблонским и И. А. Чегис в [1]; этот подход также применим к тестированию схем из функциональных элементов (см. [2, 3, 4]). Пусть имеется схема из функциональных элементов, реализующая булеву функцию (1,..., ). Под воздействием некоторого источника неисправностей один или несколько элементов схемы могут перейти в неисправное состояние. В результате схема вместо исходной функции (1,..., ) будет реализовывать некоторую булеву функцию (1,..., ), вообще говоря, отличную от.

Все такие функции (1,..., ), получающиеся при всевозможных допустимых для рассматриваемой задачи неисправностях элементов схемы, называются функциями неисправности данной схемы.

Введём следующие определения [2, 3, 4]. Проверяющим тестом для схемы называется такое множество наборов значений переменных 1,...,, что для любой отличной от (1,..., ) функции неисправности схемы в найдётся набор, на котором ( ) = ( ). Диагностическим тестом для схемы называется такое множество наборов значений переменных 1,...,, что является проверяющим тестом и, кроме того, для любых двух различных функций неисправности 1 (1,..., ) и 2 (1,..., ) схемы в найдётся набор, на котором 1 ( ) = 2 ( ). Число наборов в называется длиной теста. Тест считается минимальным, если он имеет наименьшую возможную длину (при заданных условиях). В качестве тривиального диагностического (и проверяющего) теста длины 2 для схемы всегда можно взять множество, состоящее из всех двоичных наборов длины. Тест называется полным, если в схеме могут быть неисправны сколько угодно элементов, и единичным, если в схеме может быть неисправен только один элемент.

Единичные тесты обычно рассматривают для неизбыточных схем [4], т.е. для таких схем, в которых любая допустимая неисправность любого одного элемента приводит к функции неисправности, отличной от исходной функции, реализуемой данной схемой.

Пусть зафиксирован вид неисправностей элементов, — произвольный функционально полный конечный базис и — единичный диагностический тест для некоторой схемы. Введём следующие обозначения:, ( ) — длина теста ;, () = min, ( ), где минимум берётся по всем единичным проверяющим тестам для схемы ;

, ( ) = min, (), где минимум берётся по всем неизбыточным схемам в базисе, реализующим функцию ;, () = max, ( ), где максимум берётся по всем булевым функциям от переменных, для которых определено значение, ( ). Функция, () называется функцией Шеннона длины единичного диагностического теста.

По аналогии с функциями, можно ввести функции,,, и, для соответственно единичного проверяющего, полного проверяющего и полного диагностического тестов, зависящие от, от, от и от (в определениях функций, ( ) и, ( ) не требуется предполагать неизбыточность схем). Так, например,, () — функция Шеннона длины полного проверяющего теста.

Перечислим основные результаты, касающиеся тестирования схем из функциональных элементов. Класс допустимых неисправностей функциональных элементов ограничим константными неисправностями на выходах элементов, при которых значение на выходе любого неисправного элемента становится равно некоторой булевой константе.

Неисправности на выходах элементов называются однотипными константными типа, если эта константа одна и та же для каждого неисправного элемента и равна, и произвольными константными, если эта константа может быть равна как 0, так и 1 для каждого неисправного элемента независимо от неисправностей других элементов.

В работе S.M. Reddy [5] для базиса Жегалкина {&,, 1} в случае произвольных константных неисправностей на выходах элементов была получена оценка, () + 3. В дальнейшем результат работы [5] был обобщен С.С Колядой в [6] на случай произвольного функционально полного конечного базиса. Последний результат, в свою очередь, был впоследствии усилен Д.С. Романовым, который в [7] для любого функционально полного базиса получил оценку, () 4. Ю.В. Бородиной в базисе Жегалкина для однотипных константных неисправностей на выходах элементов типа 1 [8] и типа 0 [9] (совместно с П.А. Бородиным) удалось найти точное значение функции Шеннона, () = 1. В случае произвольных константных неисправностей на выходах функциональных элементов Н. П. Редькин в [10, 11] для любого полного конечноД.С. Романов го базиса получил оценку, () 2 2 2 в [12] доказал, что существует базис, содержащий функциональные элементы с числом входов от одного до семи, в котором 2, () 4;

в [4] (с. 113, теорема 9) установлено, что для любого полного базиса функция, () асимптотически не превосходит 2. Для базиcа {&,, ¬} в случае однотипных константых неисправностей на выходах элементов Н.П. Редькин в [13, 14] получил оценки соответственно, () и, () 2 + 1. Первая из этих двух оценок впоследствии была улучшена Ю.В. Бородиной, которая в [15] установила, что, () = 2 для однотипных константных неисправностей на выходах элементов.

В данной работе в качестве неисправностей функциональных элементов рассматриваются однотипные константные неисправности типа ( {0, 1}) на выходах элементов, а в качестве базиса — классический базис {&,, ¬}. Для краткости вместо, ( ),, () будем писать соответственно ( ), ().

Формулировки и доказательства основных результатов

–  –  –

Если же 1, то значение ( ) не определено.

Следствие 1. При = 1 справедливо равенство () = 2.

Доказательство теоремы 1. Пусть вначале 1; — произвольная схема, реализующая функцию. Выход схемы, очевидно, не может совпадать ни с одним из её входов, поэтому он является выходом некоторого функционального элемента. Тогда при неисправности этого элемента получающаяся схема по-прежнему будет реализовывать тождественную единицу, т.е. схема избыточна. Получаем, что неизбыточных схем, реализующих функцию, не существует и, следовательно, значение ( ) не определено.

Если функция представима в виде (*), то её, очевидно, можно реализовать схемой, не содержащей функциональных элементов. У такой схемы нет ни одной функции неисправности, поэтому пустое множество для неё является единичным диагностическим тестом, откуда следует равенство ( ) = 0.

Пусть теперь функция отлична от тождественной единицы, представима в виде (**) и не представима в виде (*). Каждое слагаемое вида реализуем с использованием одного инвертора, а каждое слагаемое вида — с использованием одного конъюнктора. Затем все построенные элементы и все входы " ", отвечающие слагаемым вида, соединим цепочкой из дизъюнкторов. Очевидно, что полученная схема реализует функцию, а единственной её функцией неисправности является тождественная единица. Отсюда следует, что данная схема неизбыточна и множество, состоящее из любого одного нулевого набора функции (т.е. набора, на котором функция принимает значение 0), является для этой схемы единичным диагностическим тестом длины 1. Поэтому ( ) 1. С другой стороны, так как функция не представима в виде (*), то выход любой схемы, реализующей функцию, не может совпадать ни с одним из её входов, поэтому он является выходом некоторого функционального элемента. Тогда при неисправности этого элемента получающаяся схема будет реализовывать тождественную единицу, которую надо отличить от функции хотя бы на одном наборе, откуда следует, что ( ) 1. В итоге получаем равенство ( ) = 1.

Пусть, наконец, функция отлична от тождественной единицы и не представима в виде (**). Докажем сначала, что ( ) 2, если ( ) определено. Предположим, что ( ) 1. Аналогично предыдущему случаю показывается, что ( ) 1, поэтому ( ) = 1. Пусть — произвольная неизбыточная схема, реализующая функцию, для которой () = = ( ) = 1. Тогда для этой схемы существует единичный диагностический тест, состоящий из одного какого-то набора.

Лемма 1. В указанных предположениях функция, реализуемая на выходе любого элемента схемы, не превосходит.

Доказательство. Предположим, что это не так, т.е. функция, реализуемая на выходе некоторого элемента схемы, больше. Тогда существует такой набор, что () = 0 и () = 1. В таком случае при переходе элемента в неисправное состояние на наборе значение на выходе любого элемента схемы (в том числе выходного) не изменится, и, следовательно, значение получающейся функции неисправности схемы на наборе будет равно () = 0. Так как схема неизбыточна, то. Далее, при неисправности выходного элемента схемы получающаяся схема будет реализовывать тождественную единицу, причём 1 по предположению и 1 в силу того, что () = 0. Таким образом, функции, и 1 попарно различны. На наборе по крайней мере две из них принимают одинаковое значение, однако это противоречит тому, что { } — единичный диагностический тест для схемы.

Полученное противоречие доказывает лемму 1.

Пусть 1,..., — все такие входные переменные схемы, каждая из которых подаётся в ней на вход инвертора (если таких переменных нет, полагаем = 0). На выходах этих инверторов реализуются функции 1,..., ; каждая из них по лемме 1 не превосходит. Поэтому 1... (1) (в случае = 0 полагаем 1... = 0). Далее, пусть +1,..., + — все такие входные переменные схемы, каждая из которых подаётся в ней на вход какого-то дизъюнктора (если таких переменных нет, полагаем = 0). На выходах этих дизъюнкторов реализуются функции, большие либо равные соответственно +1,..., +, а тогда по лемме 1 имеем +1,..., +. Следовательно, +1... + (2) (в случае = 0 полагаем +1... + = 0).

Пусть теперь (++1, ++2 ),..., (++21, ++2 ) — все такие пары входных переменных схемы, что обе переменные из каждой пары подаются в ней на входы какого-то одного и того же конъюнктора (если таких пар переменных нет, полагаем = 0). На выходах этих конъюнкторов реализуются функции ++1 ++2,..., ++21 ++2, каждая из которых по лемме 1 не превосходит. Поэтому ++1 ++2... ++21 ++2 (3)

–  –  –

на этом наборе значение хотя бы одной из двух входных переменных схемы, подающихся на входы элемента 1, равно единице (обозначим эту переменную через ). Но {+1,..., + } по определению этих индексов, а тогда ( ) = 1 в силу (4). Противоречие.

Во всех случаях получено противоречие, значит, исходное предположение было неверно и ( ) 2, если ( ) определено.

2. Если 0, то Докажем теперь, что ( ) определено и ( ) функцию можно реализовать схемой, изображённой на рис. 1. У такой схемы есть две функции неисправности — тождественная единица и 1, каждая из которых отличается от функции. Отсюда следует, что схема неизбыточна; множество {(0), (1)}, очевидно, является для неё единичным диагностическим тестом длины 2, поэтому ( ) 2и в этом случае теорема 1 доказана. Далее будем считать, что 0. Рассмотрим произвольную тупиковую дизъюнктивную нормальную форму (д.н.ф.) функции. Пусть 11,..., — все попарно различные входящие в неё слагаемые ранга 1 (если таких слагаемых нет, полагаем = 0).

Так как 1, то все индексы 1,..., попарно различны. Без ограничения общности 1 = 1,..., =. Поскольку рассматриваемая д.н.ф. тупиковая, все её слагаемые, кроме 1,...,, содержат только переменные

–  –  –

мы 1, отвечающий переменной, считаем её выходом, а если = 0, то входная переменная подаётся на вход инвертора, выход которого считаем выходом подсхемы 1. При = 0 подсхема 1 пуста.

–  –  –

дов которого соединён с выходом элемента, а на другой его вход подаётся та переменная из +1,...,, отрицание которой подаётся на левый вход верхнего конъюнктора цепочки (соответственно ). Легко видеть, что функция, реализуемая на выходе элемента, представляет собой конъюнкцию некоторых переменных и отрицаний переменных из +1,...,, причём в неё входят и, откуда следует, что она тождественно равна нулю. Все такие конъюнкторы будем считать выходными элементами подсхемы 4. Тогда на всех выходах подсхемы 4 реализуются тождественные нули. При = 0 подсхема 4 пуста.

Подсхема 5 представляет собой цепочку из дизъюнкторов, входы которой соединяются со всеми выходами подсхем 2, 2 и 4. Легко видеть, что на выходе этой цепочки реализуется функция +1....

Выход указанной цепочки соединяется со входом инвертора. На выходе этого инвертора, который мы будем считать единственным выходом подсхемы 5, реализуется функция +1... = +1 &... & =.

Подсхема 6 представляет собой цепочку из дизъюнкторов, входы которой соединяются со всеми выходами подсхемы 1, с выходами элементов, = 1,...,, из подсхемы 3 (при 1) и с выходом инвертора из подсхемы 5. Легко видеть, что на выходе этой цепочки в силу

–  –  –

1... 1... = 1...

= 1... 1... 1... =.

Выход указанной цепочки будем считать выходом всей схемы (в случае = = 0 этот выход совпадёт с выходом подсхемы 5 ). Тогда схема реализует функцию.

Найдём все возможные функции неисправности схемы. Если неисправен какой-то элемент в одной из подсхем 1, 6, инвертор в подсхеме 5 или какой-то элемент, {1,..., }, в подсхеме 3, то функция неисправности схемы в силу вида подсхемы 6 и того, что любой элемент подсхемы 1 является выходным, равна тождественной единице.

Если неисправен какой-то дизъюнктор в подсхеме 5 или какой-то элемент в подсхеме 4, то в силу вида подсхемы 5 и того, что любой элемент подсхемы 4 является выходным, на вход инвертора будет подаваться тождественная единица, значит, на его выходе будет реализован тождественный нуль. Тогда функция неисправности схемы будет равна 1... 1... = 1....

<

–  –  –

му на её выходе, т.е. на входе инвертора, реализуется тождественная единица. Тогда на выходе элемента реализуется тождественный нуль, а на выходе всей схемы — функция 1... 1... =.

–  –  –

одной из подсхем 2, 2 или цепочке ( ) подсхемы 3, в подсхеме 5 содержатся конъюнктор, один из входов которого соединён с выходом элемента, а другой — с выходом цепочки подсхемы 4, и конъюнктор, один из входов которого соединён с выходом элемента, а другой — с выходом цепочки подсхемы 4. Легко видеть, что функция, реализуемая на выходе элемента, представляет собой конъюнкцию некоторых переменных и отрицаний переменных из +1,..., и функции, причём в эту конъюнкцию входит отрицание хотя бы одной такой переменной, откуда следует, что данная функция тождественно равна нулю. Все такие конъюнкторы будем считать выходными элементами подсхемы 5. Тогда на всех выходах подсхемы 5 реализуются тождественные нули.

–  –  –

которого конъюнктора из подсхемы 5, другой вход которого соединён с выходом цепочки подсхемы 4. Поэтому на выходе элемента реализуется функция 1& =. Она подаётся на один из входов некоторого конъюнктора из подсхемы 5, а другой его вход соединён с выходом цепочки подсхемы 4, на котором реализуется функция.

Отсюда следует, что и на выходе элемента реализуется функция, которая будет подаваться на один из входов подсхемы 7. Тогда функция неисправности схемы будет равна 1... 1... = 1

–  –  –

(1,..., ) = 1 &... &, (***) где 1 и каждый множитель, = 1,...,, имеет вид либо, либо, либо для некоторых, {1,..., }.

Отметим, что представление (*) является частным случаем представления (***).

Два двоичных набора длины называются противоположными, если один из них получается из другого заменой всех нулей на единицы, а всех единиц — на нули.

Теорема 2. Пусть = 0.

Тогда для любой булевой функции (1,..., ), отличной от тождественного нуля, справедливо равенство 0, если функция представима в виде (*), ( ) = 1, если функция представима в виде (***), но не в виде (*), 2, если функция не представима в виде (***).

Если же 0, то значение ( ) не определено.

Следствие 2. При = 0 справедливо равенство () = 2.

Доказательство теоремы 2. Чтобы различать случаи = 0 и = 1, вместо функций ( ), () и ( ) для = 0 будем писать соответственно 0 ( ), 0 () и 0 ( ). Если 0, то по аналогии с разбором случая 1 в теореме 1 можно показать, что значение 0 ( ) не определено. Пусть 0. Тогда двойственная к булева функция * отлична от тождественной единицы. Пусть * — такая неизбыточная схема в базисе {&,, ¬}, реализующая функцию *, что ( * ) = ( * ) (для = = 1), а — схема, получающаяся из схемы * заменой всех конъюнкторов на дизъюнкторы, а дизъюнкторов — на конъюнкторы. Тогда по принципу двойственности (см., например, [16], с. 19, утверждение 3) схема реализует функцию. Пусть * — единичный диагностический тест для схемы * длины ( * ); — множество двоичных наборов, противоположных наборам из * ; — произвольная функция неисправности схемы, получающаяся при неисправности типа 0 некоторого её элемента. Тогда при неисправности типа 1 соответствующего элемента схемы * функция неисправности схемы * по принципу двойственности будет равна двойственной к булевой функции *. Так как * — 19

–  –  –

1. Чегис И.А., Яблонский С.В. Логические способы контроля работы электрических схем // Труды МИАН. — 1958. — Т.51. — С. 270–360.

2. Яблонский С.В. Надежность и контроль управляющих систем // Материалы Всесоюзного семинара по дискретной математике и ее приложениям. — М.: МГУ. — 1986. — С. 7–12.

3. Яблонский С.В. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1.

— М.: Наука, 1988. — С. 5–25.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. — М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Reddy S.M. Easily testable realization for logic functions // IEEE Trans.

Comput. — 1972. — v.21. — N1. — P. 124–141.

6. Коляда С.С. Верхние оценки длины проверяющих тестов для схем из функциональных элементов. — Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н.

— М., 2013. — 77 с.

7. Романов Д.С. Метод синтеза легкотестируемых схем, допускающих единичные проверяющие тесты константной длины // Дискретная математика. — 2014. — Т.26, вып. 2. — С. 100–130.

8. Бородина Ю.В. О схемах, допускающих единичные тесты длины 1 при константных неисправностях на выходах элементов // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика.

— 2008. — №5. — С. 49–52.

9. Бородина Ю.В., Бородин П.А. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина при константных неисправностях типа "0" на выходах элементов // Дискретная математика. — 2010. — Т.22, вып. 3.

— С. 127–133.

10. Редькин Н.П. О полных проверяющих тестах для схем из функциональных элементов // Вестник Московского университета. Серия

1. Математика. Механика. — 1986. — №1. — С. 72–74.

11. Редькин Н.П. О полных проверяющих тестах для схем из функциональных элементов // Математические вопросы кибернетики. Вып.

2. — М.: Наука, 1989. — С. 198–222.

12. Романов Д.С. О синтезе схем, допускающих полные проверяющие тесты константной длины относительно произвольных константных неисправностей на выходах элементов // Дискретная математика. — 2013. — Т.25, вып. 2. — С. 104–120.

13. Редькин Н.П. О схемах, допускающих короткие тесты // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 1988.

— №2. — С. 17–21.

14. Редькин Н.П. О единичных диагностических тестах для однотипных константных неисправностей на выходах функциональных элементов // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 1992. — №5. — С. 43–46.

15. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2008. — №1. — С. 40–44.

16. Угольников А.Б. Классы Поста. Учебное пособие. — М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008.



 

Похожие работы:

«Целью вступительных испытаний по социальной работе является определение теоретической и практической подготовленности специалиста к выполнению профессиональных задач, установленных Федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС), то есть комплексная оценка общенаучных и профессиональных знаний, умений и навыков в области социальной работы и их реализации в конкретных магистерских программах. Форма проведения вступительных испытаний: тест Результаты оцениваются по 100-балльной...»

«Селиверстов Юрий Иванович Левченко Александр Сергеевич Королева Наталья Вадимовна Малый и средний бизнес Белгородской области: современное состояние, государственная поддержка и меры по преодолению кризиса ООО «Деловой Потенциал» www.dprus.com info@dprus.com +7 (4722) 41-85-85 © Delovoy Potential Consulting GroUP www.dprus.com info@dprus.com +7 (4722) 41-85-85 Содержание Введение 3 1. Малое и среднее предпринимательство в Белгородской области (текущее состояние, динамика развития по основным...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие сведения об образовательной организации АСФ КемГУ 1.1 Полное наименование и контактная информация 1.2 Система управления и планируемые результаты деятельности 2. Образовательная деятельность 2.1 Информация о реализуемых образовательных программах, их содержании 2.2 Качество подготовки обучающихся 2.3 Востребованность выпускников 2.4 Оценка учебно-методического обеспечения реализуемых программ 2.5 Оценка библиотечно-информационного обеспечения реализуемых образовательных...»

«Доклад о деятельности Уполномоченного по правам ребёнка в Ленинградской области в реализации прав детей в основных сферах их жизнедеятельности в 2013 году. (в соблюдении и защите прав, свобод и законных интересов ребёнка) Во всех действиях в отношении детей, независимо от того, предпринимаются они государственными или частными учреждениями, занимающимися вопросами социального обеспечения, судами, административными или законодательными органами, первоочередное внимание уделяется наилучшему...»

«Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО УрГУПС) Утверждаю: Ректор А.Г.Галкин «_01_»092014 г. ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 190401.65 «Эксплуатация железных дорог» (код, наименование направления подготовки, специальности) специализация «Грузовая и коммерческая работа» (специализации /...»

«1. Цели и планируемые результаты изучения дисциплины Цель изучения дисциплины «Компьютерное моделирование процессов в трибосистемах» – сформировать специалистов, умеющих обоснованно и результативно применять современные компьютерные программы САПР. В данной дисциплине излагаются принципы построения моделей и дальнейшей их обработки для получения результатов и документации различного рода при решении задач профессиональной области.Задачами дисциплины является формирование знаний, умений и...»

«6Л Русский язык Кирилишина Рабочая программа базового курса русского языка О.И. рассчитана на 204 часа в год, разработана к учебному пособию Русский язык. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. / [М.Т. Баранов, Т.А.Ладыженская, Л.А. Тростенцова и др., науч. ред. Н.М. Шанский]. – М.: Просвещение, 2015. 7А Русский язык Морозова Т.В. Рабочая программа базового курса русского языка рассчитана на 170 часов в год, разработана к учебному пособию Русский язык. 7 класс: учеб. для...»

«Технологическая платформа «Авиационная мобильность и авиационные технологии» Стратегическая программа исследований Версия 1.0 Февраль 2012 года Содержание Номер и наименование раздела Страница Введение Раздел 1 Текущие тенденции и прогноз развития 5 рынков в сфере деятельности платформы Раздел 2 Текущие тенденции и прогноз развития 13 технологий в сфере деятельности Технологической платформы. Раздел 3 Направления исследований и разработок, 23 наиболее перспективные для развития в рамках...»

«НОЯБРЬСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА (филиал) ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по специальности 210709 Многоканальные телекоммуникационные системы СМК ППССЗ-177-2013 ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ СРЕДНЕГО ЗВЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 210709 МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Квалификация техник Форма обучения: очная Нормативный срок обучения на базе основного общего образования 3 года 10месяцев Версия 1 Стр.2из 25 НОЯБРЬСКИЙ ИНСТИТУТ...»

«Пояснительная записка Рабочая учебная программа по географии составленана основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, Примерной программы основного общего образования по географии (Сборник нормативных документов. Министерства образования РФ. М: Дрофа, 2008 г.) и авторской программы под редакцией И. В. Душинойс учтом специфики преподавания в вечерней (сменной) общеобразовательной школе при исправительной колонии. В данном образовательном учреждении...»







 
2016 www.programma.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Учебные, рабочие программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.